R₀ e matematica delle epidemie sono chiavi fondamentali nel processo decisionale e nella definizione delle strategie governative

La quarantena forzata che ognuno di noi sta vivendo in questo periodo di emergenza Coronavirus sta largamente favorendo la fruizione della rete e la presenza sui social dove, tra l’altro, siamo inondati di statistiche, grafici e previsioni sull’andamento dell’epidemia. Questo mondo di numeri, se ben interpretato, può aiutarci a capire la correlazione tra lo stato di avanzamento dei contagi e la necessità di intraprendere azioni, comportamenti e strategie – anche dolorose – per far finire tutto questo con il danno minore possibile. L’interpretazione di questi numeri passa, ovviamente, attraverso la matematica e nello specifico quella che viene ormai individuata come “matematica delle epidemie”, disciplina che fa innanzitutto riferimento alla possibilità di usare gli strumenti matematici per creare dei modelli in grado di descrivere in modo quantitativo la diffusione dei contagi all’interno di una data popolazione. In rete si trovano trattazioni esaustive sul tema, con approfondite descrizioni matematiche ad opera di illustri autori che fanno dello studio dei modelli la loro professione. Vorrei utilizzare lo spazio di questo breve articolo per entrare nell’essenza di questi modelli e del significato di R0 e aiutare a comprenderne l’utilità nel processo decisionale di deliberare le norme che ci obbligano oggi a modificare i nostri comportamenti.

 

 

Il modello SIR

Un modello per lo studio della diffusione di un’epidemia in una popolazione, che oggi viene largamente utilizzato e che costituisce poi la base di ragionamento per sistemi più complessi, è il cosiddetto modello SIR, elaborato dagli scozzesi Kermack e McKendrick a partire dal 1927. Il modello parte dalla semplice idea di base di suddividere la popolazione costituita da un numero N di individui in tre gruppi:

•          I suscettibili (indicati con S), cioè individui sani che potrebbero contrarre la malattia;
•           Gli infettivi (indicati con I), che hanno contratto l’infezione e che sono quindi veicolo della malattia;
•          I rimossi (“recovered” nel testo originale – indicati con R) che sono complessivamente i guariti, i deceduti e quelli messi in isolamento, che non possono quindi infettare un individuo suscettibile.

Si pongono alcune ipotesi semplificative (come spesso accade nei modelli matematici, si parte da situazioni semplificate per addivenire ad un primo risultato e applicare successivamente, per gradi, la rimozione delle semplificazioni), e precisamente:

1. durante l’epidemia la popolazione non si riproduce, cioè non vi sono nuove nascite;
2. durante l’epidemia la causa principale di morte è la malattia epidemica stessa;
3. la popolazione è isolata, cioè non vi sono entrate o uscite rispetto all’esterno;
4. la malattia non ha un periodo di incubazione;
5. dopo la guarigione si acquisisce immediatamente l’immunità;
6. tutti gli individui infetti sono ugualmente contagiosi, indipendentemente dal tempo trascorso dal contagio

Alcune di queste ipotesi sembrano molto restrittive (soprattutto la c), considerati gli ingenti movimenti di persone, sia sul piano nazionale che su quello internazionale, e la d), in quanto per il COVID-19 il periodo di incubazione può durare fino a 14 giorni; inoltre la e) non è dimostrata); ad ogni modo  è possibile ottenere una descrizione in termini matematici dell’andamento nel tempo delle tre classi di individui che sia attendibile rispetto a quanto si osserva fisicamente nella realtà. Per comprenderla, accenneremo brevemente alla costruzione del modello.

Si suppone che i suscettibili in un certo istante, S(t) entrino in contatto con gli infettivi I(t) in modo del tutto casuale e che la riduzione dei suscettibili (e quindi del loro passaggio a infettivi) sia proporzionale al prodotto S(t)*I(t) secondo un coefficiente di proporzionalità β.

La variazione degli infettivi sarà invece data dall’ incremento dovuto al passaggio da suscettibili e infettivi secondo quanto detto sopra, a cui andranno sottratti quelli che sono guariti, deceduti o sono stati messi in isolamento. In uno schema a blocchi:

Il numero R(t) dei rimossi si suppone proporzionale al numero di infettivi S(t) secondo il coefficiente γ.

La traduzione in termini matematici delle variazioni delle grandezze sopra descritte porta alla stesura di un sistema di tre equazioni differenziali, che in questa trattazione soprassediamo.

La risoluzione di queste equazioni permette di evidenziare che i possibili sviluppi dell’epidemia sono regolati dal rapporto

γ/β fra il tasso di rimozione e il tasso di contagio. Innanzitutto si rileva che esiste un numero di suscettibili S_T  che agisce da spartiacque fra l’esplosione o meno dell’epidemia. Questo valore è pari esattamente al rapporto suddetto ed è chiamato rapporto di soglia:

S_T = γ/β

e sta ad indicare che se il numero S iniziale di suscettibili è minore del valore S_T allora l’epidemia non si sviluppa e il numero degli infettivi diminuisce fino ad annullarsi. Se invece il numero iniziale di suscettibili S è maggiore di S_T il numero iniziale di infettivi cresce, raggiungerà un massimo e poi l’epidemia comincerà ad attenuarsi fino all’ estinzione. A discapito, ovviamente, della popolazione dei suscettibili S, che si sarà ridimensionata. Per una migliore interpretazione del ruolo giocato dai due parametri γ e β è conveniente introdurre il parametro R₀, del quale si è ampiamente parlato anche in trasmissioni televisive. Avendo indicato con il N il numero di individui all’inizio dell’epidemia (un attimo prima di rilevare la presenza di infettivi), si indica con R₀ il numero:

R₀ = N*β/γ

Questo numero assume il significato di “tasso netto di riproduzione” di un’infezione e indica il numero medio di persone che ciascun individuo infetto può contagiare durante il periodo in cui è infettivo, nell’ipotesi che tutta la popolazione sia ancora suscettibile.

Per le stesse considerazioni fatte in relazione all’effetto soglia, risulta che:

se R₀ > 1 l’epidemia si scatena

se R₀ < 1 l’epidemia regredisce e si estingue senza diffusione.

Nei due casi, lo sviluppo nel tempo del numero degli infettivi assume, qualitativamente l’andamento illustrato nel grafico:

I due parametri β e γ dipendono sia dalla natura del virus che provoca l’epidemia, sia dai comportamenti della popolazione

Nel caso del Coronavirus, secondo stime dell’OMS sui primi dati disponibili dello sviluppo dell’epidemia in Cina, R₀ può avere valori variabili da 1,4 a 2,5. Sembra poco, ma gli sforzi da compier per ridurre il parametro e ricondurre la dinamica degli infettivi a seguire la curva inferiore del grafico anziché quella superiore sono notevoli.

Poiché R₀ dipende da γ e β, oltre che dal numero di individui inizialmente suscettibili (N), è ovvio chiedersi come si possa intervenire per modificare i parametri. Le strategie possibili sono:

1. diminuire N, cioè la popolazione potenzialmente suscettibile all’istante 0, quello in cui comincia a svilupparsi l’epidemia. Questo si può ottenere con l’introduzione di un vaccino, che toglierebbe appunto possibilità al virus di contagiare persone. Questa strada, a detta degli scienziati, purtroppo è ancora lunga (stime 12-18 mesi) nonostante ci sia un intenso sforzo di ricerca a livello globale, con cooperazione fra i Paesi;
2. aumentare γ, cioè aumentare il tasso di rimozione degli infettivi. Questo può essere ottenuto con
   1. terapie più efficaci, che possano migliorare la guarigione. Queste sono in continua evoluzione e ci si augura che giungano in tal senso risultati importanti;
   2. miglioramento della capacità di individuazione degli infettivi e loro istantaneo isolamento. In questo modo vengono sottratti individui al gruppo degli infettivi che possono entrare in contatto con i suscettibili. Questo è uno degli interventi adottati nel modello Corea del Sud, dove sono stati largamente incentivati i tamponi ed i metodi – anche con le moderne tecnologie informatiche – per individuare anche gli infettivi asintomatici;
3. diminuire β, cioè ridurre le occasioni di contagio attraverso diverse strategie:

• migliorare l’educazione igienico-sanitaria, in modo da esporre le singole persone ad una probabilità ridotta di entrare in contatto con il virus;
• ridurre al massimo la possibilità di incontro fra le persone, limitando quindi la possibilità che un infettivo possa contagiare un suscettibile;
• utilizzare dispositivi di protezione individuale (mascherine) che fungano da barriera al diffondersi del virus attraverso le vie aeree (da parte degli individui infettivi) e alla possibilità di assorbimento da parte di suscettibili sani.

Si coglie quindi l’utilità degli interventi che stanno adottando gli organi governativi per tentare di ridurre la trasmissione e diffusione del virus

Allo stato attuale il valore di R₀ stimato su base nazionale è di circa 1,20 (dato al 09/04/2020), come si può vedere dal grafico qui riportato (fonte: https://covstat.it/). Purtroppo è ancora alto.

Questo testimonia che siamo ancora in una fase di crescita dell’epidemia, anche se il tasso dei contagi giornalieri è inferiore rispetto all’inizio. Se consideriamo gli sforzi che stiamo facendo per trovarci comunque ancora in presenza di un parametro che indica la diffusione e non la contrazione del virus, si comprende come sia necessario non abbassare la guardia e prevedere strategie ulteriori. La strada da percorrere è ancora lunga.

In questo, emerge che i modelli matematici rappresentano un utile strumento a disposizione di chi governa come supporto nel processo decisionale di adottare strategie di lotta all’epidemia. L’utilizzo principale non riguarda quello di stimare in modo assoluto i valori delle varie grandezze in gioco, comunque affetti da margini di errore (numero di contagiati, di rimossi, ovvero valore dei parametri γ, β, R₀), quanto quello di poter mettere a confronto scenari diversi e valutarne le prestazioni in termini di contenimento della diffusione dell’epidemia. I politici che devono prendere le decisioni in questo contesto di emergenza devono tenere in considerazione diversi aspetti, tra i quali ve ne sono alcuni che presentano anche interessi conflittuali come:

• la tutela della salute
• la necessità di garantire i beni primari per la popolazione
• la necessità di mantenere un equilibrio sociale
• la necessità di mantenere in piedi l’economia

Le strategie possibili volte a modificare i comportamenti (come quelle già intraprese chiusura delle scuole, delle aziende, divieti di assembramenti, obbligo di rimanere a casa, obbligo di usare le mascherine, e quelle che saranno necessarie verso la graduale ripresa della vita ed attività quotidiane) dovranno essere individuate con il supporto della comunità scientifica, del punto di vista degli economisti e delle varie parti interessate in causa. La loro incisività, l’entità della popolazione su cui agiranno, potranno consentire in ultima analisi in maniera più o meno significativa la riduzione di R₀, e quindi anche la possibilità di successo all’ uscita da questo stato di emergenza. La stima dei risultati attesi, ottenibile con i modelli matematici, è un ulteriore supporto al politico che, guidato dai principi costituzionali e valutati gli interessi in gioco per il Paese nel suo complesso, dovrà decidere la deliberazione di provvedimenti, anche draconiani, che consentano di rendere efficaci le strategie individuate.

 

Ing. Pierosvaldo Savi – HSE Manager Nord Pas