Cos’è la teoria delle reti 

In questi giorni la macchina produttiva del Paese sta scaldando i motori per la ripartenza dopo un mese di quarantena. I comitati scientifici invitano alla prudenza, per scongiurare il più possibile un ritorno dei contagi che sarebbe deleterio se non fatale per la nostra già debole economia. L’attenzione dei governatori, sia a livello locale che nazionale, è incentrata sul trovare soluzioni che consentano ai lavoratori di riprendere il loro posto in azienda, ed offrano nel contempo le garanzie che non vi siano possibilità di nuovi contagi. Nei prossimi giorni verranno senz’altro proposti protocolli che porteranno ad organizzare il lavoro in primis e la vita quotidiana poi, in questa direzione. Oltre alle varie soluzioni tecniche di prevenzione che verranno attuate, risulterà senz’altro strategico evitare con il massimo grado di efficacia che l’eventuale presenza di persone infette possa provocare un innesco di focolai, con conseguente ripresa dell’epidemia. In questo ambito risulta prioritario essere efficienti nell’isolare i casi infetti. Quindi l’efficienza dovrà riguardare:

•       L’individuazione della persona infetta (diagnosi)
•       L’isolamento dell’infetto e delle persone che vi sono venute a stretto contatto (tracciamento).

Non entreremo nel merito delle metodologie e tecnologie che verranno adottate per questo, ma intendiamo evidenziare come questo sia essenziale nella lotta alla ripresa di una diffusione, spiegandolo ancora una volta con la modellazione matematica delle epidemie.

Nei modelli classici di diffusione delle epidemie (leggi anche modello SIR e derivati in R0 e  matematica delle epidemie) si parte dal presupposto semplificativo che il tasso contagio sia un valore medio dei contatti fra suscettibili (S) e infettivi (I). Questo corrisponde ad assumere che le persone, mediamente, si comportino, per le possibilità di contagio, tutte allo stesso modo. Il “tasso netto di riproduzione” R₀ di un’infezione (che indica il numero medio di persone che ciascun individuo infetto può contagiare durante il periodo in cui è infettivo) che ne deriva dipende, nel modello, dalle caratteristiche di contagio e di guarigione (o rimozione degli infettivi) della malattia, ma non dai comportamenti della popolazione.

Una interpretazione più raffinata del fenomeno di diffusione si ottiene ricorrendo a modelli matematici più complessi. Fra questi prendiamo in considerazione quelli basati sulla teoria delle reti (network theory models). In questi modelli le persone vengono identificate da nodi connessi fra loro, dove ciascuna connessione sta ad individuare la relazione diretta che una persona può avere con un’altra. Questi stessi modelli possono descrivere reti di natura diversa, come ad esempio Internet (server/router collegati fisicamente fra loro), aeroporti e traffico aereo, abitazioni connesse alla rete di distribuzione dell’energia elettrica, le persone in contatto sui social, e così via.

Nel caso dell’utilizzo del modello per analizzare la diffusione delle epidemie sono rilevanti, quali parametri della rete, il numero di connessioni di ciascun nodo k, ed il coefficiente di trasmissibilità T. Il primo dipende dalla natura delle relazioni che vi sono fra le persone, e varia da nodo a nodo, mentre il secondo dipende in maniera intrinseca dalla malattia e indica con quale facilità avviene il contagio fra una persona e l’altra.

Esempi di 3 reti con gli stessi identici nodi, con lo stesso numero medio [k] di connessioni pari a 2: nella prima rete tutti i nodi hanno 2 connessioni, nella seconda i nodi hanno 1,2 o 3 connessioni, nella terza il numero di connessioni ha maggiore variabilità, ma il valor medio è ancora 2.

La risoluzione matematica della propagazione dell’epidemia in una rete casuale è stata studiata con la teoria della percolazione (cioè il lento movimento di un fluido attraverso un materiale poroso) [1].

In una rete complessa potremo individuare un valore medio di connessioni, indicato con ‹k› mentre il valore ‹k²›–‹k› è la varianza della distribuzione dei valori di k attorno al valor medio ‹k›.

Un risultato rilevante della teoria è che il tasso di riproduzione di base R₀ è:

Risulta quindi che reti con lo stesso numero di nodi, lo stesso valore medio di connessioni di ciascun nodo ‹k›, saranno caratterizzate da coefficienti R₀ diversi se la distribuzione dei valori di k ha varianze diverse. Una rete che presenta una variabilità maggiore dei valori di k ha una varianza maggiore rispetto al valore medio ‹k› , risulta avere un R₀ maggiore ed è quindi è più vulnerabile all’epidemia.

Un esempio illustrativo è riportato in figura (fonte: [2]):

A parità di fattore di trasmissibilità T, la rete a destra ha una vulnerabilità, ovvero un tasso di riproduzione, più del doppio rispetto alla prima.

Questo risultato è estremamente interessante. Si pensi infatti alla rete come alla rappresentazione della struttura sociale di una popolazione, in cui un individuo entra in contatto con gli altri in base alle sue relazioni: familiari, colleghi di lavoro, amici, compagni di sport, individui appartenenti agli stessi gruppi (come la parrocchia, il centro ricreativo ecc.). I gruppi potranno essere collegati gli uni agli altri proprio attraverso l’appartenenza della stessa persona a più gruppi. I gradi di connessione tra i nodi in una rete saranno quindi distribuiti in modo assai variabile.

Una struttura sociale con ampia variabilità dei gradi di connessione risulta essere altamente vulnerabile ad un’epidemia. Osservando i grafici delle reti forse questo poteva apparire scontato. L’analisi matematica conferma questo dato.

Il distaccamento sociale e il ripristino delle attività quotidiane

In questi modelli risulta evidente come il distaccamento sociale, che comporta quindi la riduzione dei rami fra ciascun nodo e quindi la riduzione sia del valore medio ‹k› che della sua varianza, risulti essere la forma più efficace per il contenimento della diffusione del contagio.

Per quanto riguarda invece le strategie da adottare al ripristino delle attività e della “quotidianità”, i modelli offrono l’opportunità di valutarne l’efficacia qualora consentano di:

• isolare (mettere in quarantena) persone (infette o prossime a persone infette)
• sospendere alcune tipologie di contatti per proteggere dei gruppi (vengono immediatamente in mente le persone confinate nelle RSA, negli ospedali, ecc.)
• individuare, una volta disponibile il vaccino, le persone da vaccinare per prime anche con lo scopo di proteggere il resto della popolazione.

VAX! come capire il fenomeno attraverso un gioco

Tali modelli possono essere anche ben compresi dal lato pratico attraverso un gioco: VAX! È un gioco on line sulla prevenzione delle epidemie. Nel gioco (consigliamo di provarlo, dopo aver letto le semplici regole), prima della partenza dell’epidemia si possono eliminare alcuni nodi dalla rete somministrando un vaccino.

 Immagine di una rete del gioco online VAX! https://vax.herokuapp.com/game

In tal modo si spezzano i legami fra alcuni rami della rete. Successivamente parte l’epidemia e l’unica arma a disposizione è quelle di mettere in quarantena un individuo alla volta (si mettono in quarantena individui sani, generalmente prossimi ai contagiati, per evitare la propagazione del virus). Si comprende così quali possono essere i nodi strategici su cui agire per contenere la diffusione dell’epidemia e salvare il maggior numero di individui possibile.

Capire le diverse dinamiche a livello regionale

L’apprendimento della dinamica con cui si diffonde l’epidemia nella rete può anche fornire una chiave di interpretazione della differenza degli effetti dell’epidemia tra una regione e l’altra nel nostro Paese. Ne facciamo un cenno qualitativo. Pensiamo ad esempio alla Lombardia, caratterizzata da elevata densità di popolazione (con 10 milioni di persone, sono presenti quasi 1/6 della popolazione nazionale). La rete che descrive gli individui è senz’altro caratterizzata da elevata variabilità dei valori di connessione. Citiamo alcuni aspetti rilevanti che portano ad evidenziare questa variabilità:

• molte persone vivono in grandi palazzi, in aree densamente popolate, quindi possono avere molti contatti;
• ci sono alcuni milioni di lavoratori che si recano in aziende con centinaia o migliaia di lavoratori ciascuna, con uniformità di orario (si pensi all’ingresso negli spogliatoi negli orari di inizio/fine turno, alla pausa in mensa). Anche in tal caso i contatti (le connessioni) sono molteplici;
• i mezzi di trasporto, soprattutto per recarsi al posto di lavoro (metropolitana a Milano, tram, autobus e mezzi pubblici in tutte le province), sono affollati, creando peraltro connessioni di un individuo (nodo) con gruppi diversi;
• analogo discorso ai mezzi di trasporto vale per i locali pubblici.

Si possono analizzare con gli stessi criteri le regioni del Sud. Prendiamo ad esempio la Campania, che ha una densità di popolazione simile (circa 420 abitanti/km²), ma una struttura di contatti sicuramente diversa:

• i grandi palazzi sono prevalentemente presenti nelle città di provincia, mentre sono meno presenti nelle periferie;
• il numero e la concentrazione di aziende con centinaia di lavoratori sono sensibilmente inferiori;
• i mezzi di trasporto sono meno utilizzati ed affollati rispetto a quelli lombardi mentre per la frequentazione di locali pubblici le differenze potrebbero essere meno marcate

Naturalmente nello sviluppo della diffusione dell’epidemia al sud un ruolo determinante lo ha giocato il ritardo con cui si sono avuti i primi contagi e la quasi simultanea applicazione delle norme di contenimento governative. Tuttavia il numero complessivo attuale di contagi (la Campania ne ha circa 1/15 della Lombardia) trova una parziale spiegazione anche nella struttura della rete dei contatti fra le persone, che per quanto suddetto quella della Lombardia presenta sia un valore medio ‹k› più elevato e una variabilità nei gradi di connessione ‹k²›-‹k› di ciascuna persona molto maggiore rispetto a quella della Campania. Il noto tasso netto di riproduzione R₀ della struttura sociale lombarda è sicuramente più alto di quello della struttura sociale campana.

Ing. Pierosvaldo Savi – HSE Manager NordPas

Bibliografia.

[1] Lauren Ancel Meyers – Contact network epidemiology: bond percolation applied to infectious disease prediction and control; Bulletin of The American Mathematical Society – January 2007

 

[2] Lauren Ancel Meyers, University of Texas at Austin & Santa Fe Institute – Preventing the next pandemic – 2019 Stanislaw Ulam Memorial Lectures, Lecture 1 –

https://www.youtube.com/watch?v=vwVDJVbw10k&feature=youtu.be